Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數，且對于任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），若當x∈[0，2]時，f（x）=lg（x+1），則有（　　）

• A．f(1)＞f(-

  3

  2

  )＞f(

  7

  2

  )
• B．f(-

  3

  2

  )＞f(

  7

  2

  )＞f(1)
• C．f(-

  3

  2

  )＞f(1)＞f(

  7

  2

  )
• D．f(

  7

  2

  )＞f(1)＞f(-

  3

  2

  )

Answer 1

分析：由題意求得f（x）是周期等于4的周期函數，畫出函數f（x）在一個周期[-2，2]上的圖象，根據f（-

3

2

）=f（

3

2

），f（

7

2

）=f（

1

2

），利用函數的單調性求得f(-

3

2

)＞f(1)＞f(

7

2

)

解答：解：函數f（x）對于任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），故f（x）是周期等于4的周期函數．
∵f（x）是定義在R上的偶函數，x∈[0，2]時，f（x）=lg（x+1），故函數f（x）在一個周期[-2，2]上的圖象如圖所示：
∴f（x）[-2，0]上是減函數，在[0，2]上是增函數．
再由f（-

3

2

）=f（

3

2

），f（

7

2

）=f（-

7

2

）=f（-

7

2

+4）=f（

1

2

），

1

2

＜1＜

3

2

，∴f（

1

2

）＜f（1）＜f（

3

2

），
∴f(-

3

2

)＞f(1)＞f(

7

2

)，
故選C．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，體現了化歸與轉化以及數形結合的數學思想，屬于中檔題．