Question

（2012•石景山區一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)右頂點與右焦點的距離為

3

-1，短軸長為2

2

．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若三角形OAB的面積為

3 2

4

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓右頂點與右焦點的距離為

3

-1，短軸長為2

2

，可得

a-c= 3 -1 b= 2 a2=b2+c2

，由此，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，|AB|=

4

3

，此時S△AOB=

3

不符合題意；當直線AB與x軸不垂直時，設直線 AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y得，進而可求三角形的面積，利用S=

3 2

4

，即可求出直線AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意，

a-c= 3 -1 b= 2 a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1．
即橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1
（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，|AB|=

4

3

，此時S△AOB=

3

不符合題意，故舍掉；
當直線AB與x軸不垂直時，設直線 AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= -6k2 2+3k2 x1x2= 3k2-6 2+3k2

，所以 |AB|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

．
原點到直線的AB距離d=

|k|

1+k2

，
所以三角形的面積S=

1

2

|AB|d=

1

2

|k|

1+k2

4 3 (k2+1)

2+3k2

．
由S=

3 2

4

可得k²=2，∴k=±

2

，
所以直線lAB：

2

x-y+

2

=0或lAB：

2

x+y+

2

=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理確定三角形的面積是關鍵．