Question

【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區域內舉行機器人攔截挑戰賽，在處按方向釋放機器人甲，同時在處按某方向釋放機器人乙，設機器人乙在處成功攔截機器人甲．若點在矩形區域內（包含邊界），則挑戰成功，否則挑戰失敗．已知米，為中點，機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，比賽中兩機器人均按勻速直線運動方式行進，記與的夾角為．

（1）若，足夠長，則如何設置機器人乙的釋放角度才能挑戰成功？（結果精確到）；

（2）如何設計矩形區域的寬的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋放角度使機器人乙在矩形區域內成功攔截機器人甲？

Answer 1

【答案】（1）按照與夾角為的向量方向釋放機器人乙；（2）米

【解析】

（1）利用正弦定理,即可求解;

（2）以所在直線為軸,中垂線為軸,建平面直角坐標系,求出的軌跡方程,即可得出結論．

（1）中,,,

由正弦定理,得：,

所以,所以.

所以應在矩形區域內,按照與夾角為

的向量方向釋放機器人乙,才能挑戰成功.

（2）以所在直線為軸,中垂線為軸，

建平面直角坐標系,設由題意，

知,所以,

所以

即點的軌跡是以為圓心，6為半

徑的上半圓在矩形區域內的部分.

所以當米時,能確保無論的值為多少,

總可以通過設置機器人乙的釋放角度使機器人

乙在矩形區域內成功攔截機器人甲.