Question

某高中數學競賽培訓在某學段共開設有初等代數、平面幾何、初等數論和微積分初步共四門課程，要求初等數論、平面幾何都要合格，且初等代數和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數學競賽復賽的資格．現有甲、乙、丙三位同學報名參加數學競賽培訓，每一位同學對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同（見下表），且每一門課程是否合格相互獨立．

課     程[來	初等代數	平面幾何	初等數論	微積分初步
合格的概率	2 3	3 4	2 3	1 2

（Ⅰ）求乙同學取得參加數學競賽復賽的資格的概率；
（Ⅱ）記ξ表示三位同學中取得參加數學競賽復賽的資格的人數，求ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,列舉法計算基本事件數及事件發生的概率,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（I）分別記甲對這四門課程考試合格為事件A，B，C，D，“甲能能取得參加數學競賽復賽的資格”的概率為P(ABCD)+P(ABC

.

D

)+P(AB

.

C

D)，由事件A，B，C，D相互獨立能求出結果．
（II）由題設知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，ξ～B(3，

5

12

)，由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答： 解：（1）分別記甲對這四門課程考試合格為事件A，B，C，D，
且事件A，B，C，D相互獨立，
“甲能能取得參加數學競賽復賽的資格”的概率為：
P(ABCD)+P(ABC

.

D

)+P(AB

.

C

D)
=

3

4

•

2

3

•

2

3

•

1

2

+

3

4

•

2

3

•

2

3

•

1

2

+

3

4

•

2

3

•

1

3

•

1

2

=

5

12

．
（2）由題設知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B(3，

5

12

)，
P(ξ=0)=

C

0 3

(

7

12

)3=

343

1728

，
P(ξ=1)=

C

1 3

(

5

12

)(

7

12

)2=

735

1728

，
P(ξ=2)=

C

2 3

(

5

12

)2(

7

12

)=

525

1728

，
P(ξ=3)=

C

3 3

(

5

12

)3=

125

1728

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	343 1728	735 1728	525 1728	125 1728

∵ξ～B(3，

5

12

)，∴Eξ=3×

5

12

=

5

4

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．