Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，右焦點到右頂點的距離為．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）是否存在與橢圓交于兩點的直線：，使得成立？若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）求橢圓標準方程，關鍵利用待定系數法求出a,b. 由及，解得，．所以．所以橢圓的標準方程是．（Ⅱ）存在性問題，一般從假設存在出發,建立等量關系，有解就存在，否則不存在. 條件的實質是垂直關系，即.所以．,,由得．，．代入化簡得，．由化簡得．解得，．
由，，所以實數的取值范圍是．
（Ⅰ）設橢圓的方程為，半焦距為.
依題意，由右焦點到右頂點的距離為，得．
解得，．
所以．                              
所以橢圓的標準方程是．             4分
（Ⅱ）解：存在直線，使得成立.理由如下：
由得．
，化簡得．
設，則
，．
若成立，
即，等價于．所以．
，
，
,
化簡得，．
將代入中，，
解得，．
又由，，
從而，或．
所以實數的取值范圍是．          14分