Question

已知函數y=x+

k

x

有如下性質：如果常數k＞0，那么該函數在（0，

k

）是減函數，在(

k

，+∞)是增函數．
（1）已知f（x）=

4x2-12x+13

2x-3

，利用上述性質，試求函數f（x）在x∈[2，3]的值域和單調區間；
（2）由（1）中的函數f（x）和函數g（x）=x+a，若對任意的x∈[2，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）通過令μ=2x-3換元，將原函數轉化為y=μ+

4

μ

，利用已知條件，得到函數的值域的單調區間，再μ滿足的區間轉化為x取值區間，得到本題結論；（2）本題恒成立問題，利用參變量分離，轉化為求y=x+

k

x

型函數最值問題，求出函數最值，得到本題結論．

解答： 解：（1）令μ=2x-3（1≤μ≤3），
∴y=μ+

4

μ

，
依題可知：y=μ+

4

μ

在區間[1，2）單調遞減，在區間[2，3]單調遞增．
∴y=f（x）的值域為[4，5]；
當μ∈[1，2]時，x∈[2，

5

2

]，
當μ∈（2，3]時，x∈(

5

2

，3]．
∴y=f（x）的單調遞減區間為[2，

5

2

]，單調遞增區間為(

5

2

，3]
（2）依題可知，∵f（x）＜g（x）恒成立，
∴a＞

4x2-12x+13

2x-3

-x在x∈[2，3]恒成立．
設h(x)=

4x2-12x+13

2x-3

-x=

2x2-9x+13

2x-3

，
令μ=2x-3（1≤μ≤3），
則y=

1

2

(μ+

8

μ

-3)≤3．
∴a＞3．

點評：本題考查了y=x+

k

x

型函數的單調性和最值、還考查了化歸轉化的數學思想方法，本題難度不大，屬于基礎題．