Question

已知函數f（x）=sinx，g（x）=cos²x，以下判斷正確的序號是

 

（1）函數h（x）=f（x）-tanx在x∈（-

π

2

，0]上的零點只有1個．
（2）函數h（x）=f（x+1）-

π

2x+2

在x∈（1，2π）上的零點只有1個．
（3）函數h（x）=

1

2

f（x）+g（x）+a在x∈[0，π]的零點個數為1個時，a無解
（4）函數h（x）=

1

2

f（x）+g（x）+a在x∈[0，π]的零點個數為2時，a∈（-1，-

1

2

）∪{-

17

16

}．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,閱讀型,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：運用零點的定義，解方程，即可判斷（1）；運用導數判斷函數的單調性，即可判斷零點個數，可判斷（2）；令h（x）=0，運用同角公式和正弦函數的性質，即可判斷（3）、（4）．

解答： 解：對于（1），由sinx=tanx，即有sinx=0或cosx=1，在x∈（-

π

2

，0]上只有x=0，則（1）對；
對于（2），h（x）=sin（x+1）-

π

2x+2

，h′（x）=cos（x+1）+

π

2(x+1)2

，由于1＜x＜2π，h′（x）=0有解，則h（x）不單調，則零點不唯一，則（2）錯；
對于（3），h（x）=

1

2

sinx+cos²x+a，令h（x）=0，則sin²x-

1

2

sinx=1+a，即（sinx-

1

4

）²=a+

17

16

，
由于0≤x≤π，則sinx∈[0，1]，若h（x）零點個數為1，則x=

π

2

，此時a=-

1

2

，則（3）錯；
對于（4），由（sinx-

1

4

）²=a+

17

16

，由于0≤x≤π，則sinx∈[0，1]，sinx-

1

4

∈[-

1

4

，

3

4

]，
若h（x）零點個數為2，即有0≤

a+ 17 16

＜

3

4

，且-

a+ 17 16

＜-

1

4

，解得，-1＜a＜-

1

2

或a=-

17

16

．則④對．
故答案為：（1）（4）．

點評：本題考查函數的零點的判斷和求法，考查函數的性質和運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．