Question

設函數f(x)＝4x³＋ax²＋bx＋5在x＝與x＝－1時有極值.
(1)寫出函數的解析式；
(2)指出函數的單調區間；
(3)求f(x)在[－1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

(1) f(x)＝ 4x³－3x²－18x＋5
(2) (－1，)
(3) f(x)在[－1，2]上的最小值是－,最大值為16.

此題主要考查多項式函數的導數，函數單調性的判定，函數最值，函數、方程等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，難度不大．
（1）首先求出函數的導數，然后f′（-1）=0，f′（）=0，解出a、b的值，進而求出解析式
（2）f′（x）＜0，求出函數的單調區間；
（3）由（1）求出端點處函數值，從而求出函數f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．
解：(1) f ¢(x)＝12x²＋2ax＋b.?由題設知x ＝ 與x ＝－1時函數有極值．
則x ＝ 與x ＝－1滿足f ¢(x)＝0．
解得a ＝－3，b ＝－18． ∴f(x)＝ 4x³－3x²－18x＋5． ……4分
(2)f ¢(x)＝12x²－6x－18＝6(x＋1)(2x－3)，
令f ¢(x)＞0得：(－∞，－1)和(，＋∞)均為函數的單調遞增區間；
(－1，)為函數的單調遞減區間． ……8分
(3)極值點（－1, ） 均屬于[－1，2]，?
又∵f(－1)＝16,  f(2)＝－11, f()＝－ ,     ……10分
故f(x)在[－1，2]上的最小值是－,最大值為16. ……12分
注：其它解法可酌情給分.