Question

已知數列{a_n}的通項公式是a_n=

1

(n+1)2

，（n∈N），記b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）求出數列{b_n}通項公式；
（2）令P_n=b_n-b_n+1，求

lim

n→∞

（p₁+p₂+…+p_n）的值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的概念及簡單表示法,數列的極限

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于a_n=

1

(n+1)2

，（n∈N），可得1-a_n=1-

1

(n+1)2

=

n(n+2)

(n+1)2

，即可得出b_n．
（2）利用“裂項求和”與數列極限的運算性質即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=

1

(n+1)2

，（n∈N），
∴1-a_n=1-

1

(n+1)2

=

n(n+2)

(n+1)2

，
∴b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）=

1×3

22

×

2×4

32

×

3×5

42

×…×

(n-1)(n+1)

n2

×

n(n+2)

(n+1)2

=

n+2

2(n+1)

．
（2）P_n=b_n-b_n+1=

n+2

2(n+1)

-

n+3

2(n+2)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+2

)．
∴p₁+p₂+…+p_n=

1

2

[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]=

1

2

(

1

2

-

1

n+2

)．
∴

lim

n→∞

（p₁+p₂+…+p_n）=

lim

n→∞

1

2

(

1

2

-

1

n+2

)=

1

4

．

點評：本題考查了“累乘求積”、“裂項求和”與數列極限的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．