Question

【題目】已知函數(shù) ． （Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）試判斷f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ∴g（x）=f（x）﹣a= ，
∵g（x）是奇函數(shù)，
∴g（﹣x）=﹣g（x），即 ，
解之得a=1．
（Ⅱ）設(shè)0＜x1＜x2 ， 則
= ．
∵0＜x1＜x2 ，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，從而 ，
即f（x1）＜f（x2）．
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)
【解析】（I）根據(jù)f（x）表達(dá)式，得g（x）= ，再根據(jù)奇函數(shù)的定義采用比較系數(shù)法即可求出實數(shù)a的值．（II）設(shè)0＜x1＜x2 ， 將f（x1）與f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調(diào)性的綜合，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性即可以解答此題．