Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=n﹣5an﹣85，n∈N+ ．
（1）求an ．
（2）求數列{Sn}的通項公式，并求出n為何值時，Sn取得最小值？并說明理由．（參考數據：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=n﹣5an﹣85，∴當n=1時，S1=1﹣5a1﹣85，

即a1=1﹣5a1﹣85，解得a1=﹣14；

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n﹣5an﹣85）﹣[（n﹣1）﹣5an﹣1﹣85]=﹣5an+5an﹣1+1，

整理得6an=5an﹣1+1，∴6（an﹣1）=5（an﹣1﹣1），

∴ = ．又a1﹣1=﹣15，

∴數列{an﹣1}是以﹣15為首項， 為公比的等比數列．

∴an=﹣15×（ ）n﹣1+1

（2）解：由（1）知，an=﹣15×（ ）n﹣1+1，

代入Sn=n﹣5an﹣85得，Sn=n﹣5[﹣15×（ ）n﹣1+1]﹣85

=n+75×（ ）n﹣1﹣90．

設Sk為最小值，則 ，即有 ，

即 ，即 ，可得 ，

即 ≤k≤ +1，又 = = = ，

lg2≈0.3，lg3≈0.48，∴ ≈14.75．

∴14.75≤k≤15.75．又∵k∈N+，∴k=15．

即當n=15時，Sn取得最小值

【解析】（1）運用數列的通項與求和的關系：當n=1時，a1=S1 ， 當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 通過構造數列，結合等比數列的定義和通項公式，即可得到所求；（2）將（1）的結論代入條件，可得Sn=n+75×（ ）n﹣1﹣90．設Sk為最小值，則 ，運用通項公式，結合對數函數的單調性，解不等式計算即可得到所求k的值．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．