Question

把正整數按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數表：
設a_ij（i、j∈N*）是位于這個數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數．數表中第i行共有2^i-1個正整數．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值；
（2）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），試比較A_n與n²+n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題目中圖中數的排列規律，我們發現圖中是把正整數按從小下大、左小右大的原則進行排列，且第i行的第一個數是2^i-1，由此不難推斷2010的位置．
（2）由（1）的結論，我們易對A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），進行化簡，并寫出A_n與n²+n的前若干項，觀察后，可根據歸納推理對A_n與n²+n的大小進行猜想，然后再用數學歸納法進行證明．

解答：解：（1）數表中前n行共有1+2+2²++2^n-1=2ⁿ-1個數，
即第i行的第一個數是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1．
∵2¹⁰＜2010＜2¹¹，a_ij=2010，
∴i=11．
令2¹⁰+j-1=2010，
解得j=2010-2¹⁰+1=987．

（2）∵A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn
=（1+2+2²+…+2^n-1）+[0+1+2+…+（n-1）]
=2n-1+

n(n-1)

2

∴An-(n2+n)=2n-1+

n(n-1)

2

-(n2+n)=2n-

n2+3n+2

2

．
當n=1時，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當n=2時，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當n=3時，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當n≥4時，猜想：2n＞

n2+3n+2

2

．
下面用數學歸納法證明猜想正確．
①當n=4時，24=16＞

42+3×4+2

2

，
即2n＞

n2+3n+2

2

成立；
②假設當n=k（k≥4）時，猜想成立，即2k＞

k2+3k+2

2

，
則2k+1=2×2k＞2×

k2+3k+2

2

=k2+3k+2，
∵k2+3k+2-

(k+1)2+3(k+1)+2

2

=

2k2+6k+4-k2-5k-6

2

=

(k+2)(k-1)

2

＞0，
∴2k+1＞

(k+1)2+3(k+1)+2

2

．
即當n=k+1時，猜想也正確．
由①、②得當n≥4時，2n＞

n2+3n+2

2

成立．
當n≥4時，A_n＞n²+n．
綜上所述，當n=1，2，3時，A_n＜n²+n；當n≥4時，A_n＞n²+n．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．