Question

【題目】已知函數的定義域為，同時滿足：對任意，總有，對定義域內的，若滿足，恒有成立，則函數稱為“函數”.

（1）判斷函數在區間上是否為“函數”，并說明理由；

（2）當為“函數”時，求的最大值和最小值；

（3）已知為“函數”：

①證明：；

②證明：對一切，都有

Answer 1

【答案】（1）f(x)為“函數”，證明略；（2）g(x)最小值為2，最大值為3；（3）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）欲判斷f(x)=2x+1 （0≤x≤1）是不是“函數”，即看它是否滿足：x∈[0，1]，f(x)≥2；f(1)=3；對定義域內的，若滿足，恒有，一一驗證即可；（2）先利用定義法研究函數g(x)的單調性，從而可求此函數的最值；（3）①題中條件：，令，得，利用它進行放縮，可證得答案；②因為由題意可得：對x∈(0，1]，總存在n∈N，滿足，結合由（1）和①得，又，從而可證得結論.

（1）顯然f(x)=2x+1(0x1)滿足：x∈[0，1]，f(x)2， f(1)=3；

若x10，x20，x1+x21，

則，

即成立，故為“函數”；

（2）設x1，x2∈[0，1]，x1<x2，則x2x1∈(0，1]

，

∴g(x2)g(x1)g(x2x1)20，

∴g(x1)g(x2)，則當0x1時，g(x)單調遞增，即g(0)g(x)g(1)，

在中，令x1=x2=0，得(0)2，

由，得g(0)2，∴g(0)=2，當x=1時，g(1)=3，

∴當x=0時，g(x)取得最小值2，

當x=1時，g(x)取得最大值3；

（3）①依題意，，

令，得，

，

則；

②對x∈(0，1]，總存在n∈N，滿足，

由（1）和①得，又，

∴h(x)<2x+2，

綜上所述，對一切x∈(0，1]，都有h(x)<2x+2.