Question

【題目】凸四邊形PABQ中，其中A，B為定點，AB= ，P，Q為動點，滿足AP=PQ=QB=1．
（1）寫出cosA與cosQ的關系式；
（2）設△APB和△PQB的面積分別為S和T，求S2+T2的最大值，以及此時凸四邊形PABQ的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PAABcosA=1+3﹣2 cosA=4﹣2 cosA，

在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQQBcosQ=2﹣2cosQ，

∴4﹣2 cosA=2﹣2cosQ，即cosQ= cosA﹣1

（2）解：根據題意得：S= PAABsinA= sinA，T= PQQBsinQ= sinQ，

∴S2+T2= sin2A+ sin2Q= （1﹣cos2A）+ （1﹣cos2Q）=﹣ + cosA+ =﹣ （cosA﹣ ）2+ ，

當cosA= 時，S2+T2有最大值 ，此時S四邊形PABQ=S+T=

【解析】（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出關系式表示出PB2 ， 在三角形PQB中，利用余弦定理列出關系式表示出PB2 ， 兩者相等變形即可得到結果；（2）利用三角形面積公式分別表示出S與T，代入S2+T2中，利用同角三角函數間的基本關系化簡，將第一問確定的關系式代入，利用余弦函數的性質及二次函數的性質求出最大值，以及此時凸四邊形PABQ的面積即可．
【考點精析】關于本題考查的余弦定理的定義，需要了解余弦定理:;;才能得出正確答案．