Question

已知在數列{a_n}中，a₁=-1，a₂=2，a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）（n≥2，n∈N₊）．
（1）求證：數列{a_n-a_n-1}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）根據數列的遞推關系結合等差數列的定義即可證明數列{a_n-a_n-1}是等差數列；
（2）求根據數列{a_n-a_n-1}是等差數列，求出數列{a_n-a_n-1}的通項公式，利用累加法即可求數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）因為a_n+1+a_n-1=2（a_n+1）可化為（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
所以數列{a_n-a_n-1}是一個首項為a₂-a₁=3，公差為2的等差數列．
（2）由（1）知a_n-a_n-1=3+2（n-2）=2n-1，
所以（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）=a_n-a₁=（2n-1）+（2n-3）+…+3，
所以a_n=-1+3+…+（2n-1）=-2+[1+3+…+（2n-1）]
=-2+

n[1+(2n-1)]

2

=n²-2（n≥2，n∈N₊）．
因為1²-2=-1=a₁，
所以a₁也適合a_n=n²-2，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=n²-2．

點評：本題主要考查數列的通項公式的求解以及等差數列的證明，利用遞推數列進行轉化是解決本題的關鍵．