Question

已知雙曲線的中心在原點，F₁、F₂為左、右焦點，且在坐標軸上，離心率為

2

，又雙曲線過點（4，-

10

）．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）若點M（3，m）在此雙曲線上，證明：F₁M⊥F₂M；
（3）在（2）的條件下，求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,證明題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）雙曲線方程為x²-y²=λ，點代入求出參數λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）先求出

MF1

•

MF2

的坐標，把點M（3，m）代入雙曲線，可得出

MF1

•

MF2

=0，即可證明．
（3）求出三角形的高，即|m|的值，運用三角形的面積公式可得其面積．

解答： （1）解：由離心率e=

2

，則c=

2

a，b=

c2-a2

=a，
可設所求雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）
則由點（4，-

10

）在雙曲線上，
知λ=4²-（-

10

）²=6
則雙曲線方程為x²-y²=6；
（2）證明：若點M（3，m）在雙曲線上，
則3²-m²=6∴m²=3，
由雙曲線x²-y²=6，知F₁（-2

3

，0），F₂（2

3

，0），
又

MF1

=（-2

3

-3，-m），

MF2

=（2

3

-3，-m），
則

MF1

•

MF2

=（-2

3

-3）（2

3

-3）+m²=9-12+3=0，
則有F₁M⊥F₂M；
（3）解：△F₁MF₂的面積為S=

1

2

×2c•|m|=c|m|=2

3

×

3

=6．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．解答的關鍵是對雙曲線標準方程的理解和向量運算的應用．