Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，，平面平面，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直性質(zhì)即可判定；

（2）取中點(diǎn)O，連接，，可證明，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，即可由空間向量法求得二面角的余弦值.

（1）證明：在四棱錐中，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

又因?yàn)?/span>，平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以.

（2）取中點(diǎn)O，連接，，

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以，.

因?yàn)?/span>，，，所以，，

所以四邊形是平行四邊形，所以.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，.

，.

設(shè)平面的法向量為，則

即令，則，，所以.

因?yàn)槠矫?/span>的法向量，

所以

由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.