Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，點P在線段BD₁上，當(dāng)∠APC最大時，三棱錐P-ABC的體積為（　　）

• A、

  1

  18

• B、

  1

  24

• C、

  1

  9

• D、

  1

  12

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：△APC中AP=CP，當(dāng)AP⊥BD₁時AP，CP最短，∠APC最大，由此能求出當(dāng)∠APC最大時，三棱錐P-ABC的體積．

解答： 解：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)PO，
則∠APC=2∠APO，
∵tan∠APO=

AO

PO

，
∴當(dāng)PO最小時，∠APO最大，
即PO⊥BD₁時，∠APO最大，
如圖，作PE⊥BD于E，
此時|PB|=

1

3

|BD₁|，
∴三棱錐P-ABC的高為P到平面ABCD的距離PE=

1

3

，
∴三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S△ABC•PE=

1

3

×

1

2

×

1

3

=

1

18

．
故選：A．

點評：本題考查當(dāng)∠APC最大時，三棱錐P-ABC的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．