Question

【題目】在極坐標系中，曲線的方程為，以極點為原點，極軸所在直線為軸建立直角坐標，直線的參數方程為（為參數），與交于，兩點．

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）設點；若、、成等比數列，求的值

Answer 1

【答案】(1) 曲線的直角坐標方程為，直線的普通方程為 ； (2)

【解析】

(1)由極坐標與直角坐標的互化公式和參數方程與普通方程的互化，即可求解曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

(2)把的參數方程代入拋物線方程中，利用韋達定理得，，可得到，根據因為，，成等比數列，列出方程，即可求解．

(1)由題意，曲線的極坐標方程可化為，

又由，可得曲線的直角坐標方程為，

由直線的參數方程為（為參數），消去參數，得，

即直線的普通方程為；

(2)把的參數方程代入拋物線方程中，得，

由，設方程的兩根分別為，，

則，，可得，．

所以，，．

因為，，成等比數列，所以，即，

則，解得解得或（舍），

所以實數.