Question

【題目】已知圓的圓心在軸上，半徑為1，直線被圓所截的弦長為，且圓心在直線的下方．

（1）求圓的方程；

（2）設，若圓是的內切圓，求的面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值為，最小值．

【解析】試題分析：（1）由于圓的半徑為，設圓心為，利用弦長為，則圓心到直線的距離為，以此建立方程，求得，所以圓的方程為；（2）設的斜率為的斜率為，由此寫出直線的方程，聯立求得點的橫坐標， ，面積的表達式，利用圓與直線相切，求得，同理求得，代入面積的表達式，利用二次函數的圖像與性質，求得最小值與最大值.

試題解析：

（1）設圓心，由已知得到的距離為，

∴，又∵在的下方，∴，∴．

故圓的方程為．

（2）由題設的斜率為的斜率為，則直線的方程為，直線的方程為．

由方程組，得點的橫坐標為．

∵，

∴，

由于圓與相切，所以，∴；

同理， ，∴，

∴，∵，

∴，∴，

∴，

∴的面積的最大值為，最小值．