Question

【題目】如圖，斜三棱柱中，平面平面，為棱的中點，與點．若，60°．

（Ⅰ）證明：直線平面；

（Ⅱ）證明：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）要證明線面平行，可以先證明面面平行，再說明線面平行，取的中點，連結，，證明平面平面；

（Ⅱ）由面面垂直的性質定理證明平面，再由條件證明，由面面垂直的判斷定理證明；

（Ⅲ）作，垂足，連結，由（Ⅱ）可知平面，即為直線與平面所成角.

（Ⅰ）取的中點，連結，．

∵，分別為，的中點，

∴，．

∵平面，平面，

∴ 平面，平面，

∴平面平面，

∴直線平面．

（Ⅱ）∵，60°，∴，

∵平面平面，∴平面，

∴．

∵，60°，

∴30°，60°，

∴90°，即．

∴平面，

∴平面平面．

（Ⅲ）作，垂足，連結．

由（Ⅱ）知平面，∴為在平面上的射影，

∴即為直線與平面所成角．

∵，，

∴，又為的中點，

∴，，∴，從而，

∴，

即直線與平面所成角的正弦值為．