Question

【題目】已知正項數列，滿足：對任意正整數，都有，，成等差數列，，，成等比數列，且，．

（Ⅰ）求證：數列是等差數列；

（Ⅱ）求數列，的通項公式；

（Ⅲ）設=++…+，如果對任意的正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1

【解析】

（Ⅰ）由已知得，

即， 由2b1=a1+a2=25，得b1=， 由a22=b1b2，得b2=18，

∴{}是以為首項，為公差的等差數列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴，

因為，，成等比數列

所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

原式化為，

即f（n）=恒成立，

當a–1＞0即a＞1時，不合題意；

當a–1=0即a=1時，滿足題意；

當a–1＜0即a＜1時，f（n）的對稱軸為，f（n）單調遞減，

∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；

綜上，a≤1.