Question

【題目】已知橢圓Γ： =1（a＞b＞0）的右焦點為（2 ，0），且橢圓Γ上一點M到其兩焦點F1 ， F2的距離之和為4 ．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓Γ交于不同兩點A，B，且|AB|=3 ．若點P（x0 ， 2）滿足| |=| |，求x0的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知2a=4 ，得a=2 ，又c=2 ． ∴b2=a2﹣c2=4．
∴橢圓Γ的方程為 ．
（Ⅱ）由 ，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，①
∵直線l與橢圓Γ交于不同兩點A、B，
∴△=36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，
解得m2＜16．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則x1 ， x2是方程①的兩根，
則 ， ．
∴|AB|= = = ．
又由|AB|=3 ，得﹣ ，解得m=±2
據題意知，點P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點．
設AB的中點為E（x0 ， y0），則 =﹣ ， ，
當m=2時，E（﹣ ），
∴此時，線段AB的中垂線方程為y﹣ =﹣（x+ ），即y=﹣x﹣1．
令y=2，得x0=﹣3．
當m=﹣2時，E（ ），
∴此時，線段AB的中垂線方程為y+ =﹣（x﹣ ），即y=﹣x+1．
令y=2，得x0=﹣1．…（1分）
綜上所述，x0的值為﹣3或﹣1
【解析】（Ⅰ）由已知2a=4 ，c=2 ．由此能求出橢圓Γ的方程．（Ⅱ）由 ，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中垂線性質、中點坐標公式，結合已知條件能求出x0的值．