Question

【題目】如圖所示，拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點為F，C上的一點M（4，m）滿足|MF|=4．

（1）求拋物線C的標準方程；
（2）過點E（﹣1，0）作不經過原點的兩條直線EA，EB分別與拋物線C和圓F：x2+（y﹣2）2=4相切于點A，B，試判斷直線AB是否經過焦點F．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線C的準線方程為 ，

∴|MF|=m+ =4，

由M（4，m）在橢圓上，

∴16=2pm，

∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，

∴拋物線C的標準方程為x2=8y

（2）解：設EA：x=ky﹣1，聯立 ，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0，

∵EA與C相切，

∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2，

∴ ，求得 ，

設EB：x=ty﹣1，聯立 ，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，

∵EB與圓F相切，

∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即 ，

∴ ，求得 ，

∴直線AB的斜率 ，

可得直線AB的方程為 ，經過焦點F（0，2）

【解析】1、利用拋物線的定義可得m+ =4,點M（4，m）在橢圓上，所以16=2pm，即可求出p=4，進而得到拋物線C的標準方程為x2=8y。
2、首先聯立直線與拋物線的方程，根據題意令△=0，求得k=﹣2，即得點A的坐標；同理可得點B的坐標，進而得到直線AB的斜率 k AB的值，從而求出直線的方程，并可判斷其經過焦點F（0，2）。