Question

（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，側面，△是等邊三角形，， ，是線段的中點．
  
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求四棱錐的體積；
（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）略（2）（3）

（Ⅰ）證明：因為側面，平面， 
所以．……………………………………………………………2分
又因為△是等邊三角形，是線段的中點，
所以．
因為，
所以平面．…………………………………………………4分
而平面，
所以．……………………………………………………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：平面，所以是四棱錐的高．
由，，可得．
因為△是等邊三角形，
可求得．
所以．………………9分

（Ⅲ）解：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則，，，．
，，．
設為平面的法向量．
由  即
令，可得．………………………12分
設與平面所成的角為．
．
所以與平面所成角的正弦值為． …………………………………14分