Question

已知定義在R上的函數F（x）滿足F（x+y）=F（x）+F（y），且當x＞0時，F（x）＜0，若對任意x∈[0，1]，不等式組

F(2kx-x2)＜F(k-4) F(x2-kx)＜F(k-3)

恒成立，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意可判斷函數F（x）在R上為減函數；從而化簡為

2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3

對x∈[0，1]成立，從而由二次函數的圖象判斷即可．

解答： 解：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
則F（x₂-x₁）＜0；
則F（x₂）=F（x₂-x₁）+F（x₁）＜F（x₁），
則函數F（x）在R上為減函數；
則對任意x∈[0，1]，不等式組

F(2kx-x2)＜F(k-4) F(x2-kx)＜F(k-3)

恒成立可化為

2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3

對x∈[0，1]成立，
依題有

f(x)=x2-2kx+k-4＜0 g(x)=x2-kx-k+3＞0

對x∈[0，1]成立，
由于f（x）＜0對x∈[0，1]成立，
則

f(0)=k-4＜0 f(1)=-k-3＜0

，
解得，-3＜k＜4；
由于g（x）＞0對x∈[0，1]成立，
∴k＜

x2+3

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-2恒成立；
∴k＜2；
綜上所述，-3＜k＜2．
故答案為：（-3，2）．

點評：本題考查了抽象函數的單調性的判斷及數形結合的思想應用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．