Question

給出下列命題：
①已知橢圓

x2

16

+

y2

8

=1兩焦點F₁，F₂，則橢圓上存在六個不同點M，使得△F₁MF₂為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線c：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|OM|=a；
④已知⊙C₁：x²+y²+2x=0，⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是（　　）

• A、①③④
• B、①②③
• C、③④
• D、①②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：①過橢圓的兩焦點F₁，F₂，分別作x軸的垂線與橢圓的4個交點即為短軸的兩個頂點六個不同點M，使得△F₁MF₂為直角三角形；
②設直線l與這條拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則|AB|=y₁+y₂+p≥

3

4

，其最小值不為2；
③過雙曲線c的一個焦點（c，0）作它的一條漸近線y=

b

a

x的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|FM|=

|bc|

a2+b2

=b，|OM|=

|OF|2-|FM|2

=a；
④⊙C₁：化為（x+1）²+y²=1，圓心C₁（-1，0），半徑r=1；⊙C₂：化為x²+（y+1）²=2，圓心C₂（0，-1），半徑R=

2

．可得

2

-1＜

2

=|C₁C₂|＜

2

+1，因此兩圓相交，即可得出．

解答： 解：①過橢圓

x2

16

+

y2

8

=1兩焦點F₁，F₂，分別作x軸的垂線與橢圓的4個交點即為短軸的兩個頂點六個不同點M，使得△F₁MF₂為直角三角形，正確；
②直線l過拋物線y=2x²的焦點，且與這條拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則|AB|=y₁+y₂+p≥

3

4

，其最小值不為2，不正確；
③若過雙曲線c：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點（c，0）作它的一條漸近線y=

b

a

x的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|FM|=

|bc|

a2+b2

=b，|OM|=

|OF|2-|FM|2

=a，正確；
④⊙C₁：x²+y²+2x=0，化為（x+1）²+y²=1，圓心C₁（-1，0），半徑r=1；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，化為x²+（y+1）²=2，圓心C₂（0，-1），半徑R=

2

．
∴

2

-1＜

2

=|C₁C₂|＜

2

+1，因此兩圓相交，則這兩圓恰有2條公切線，正確．
其中正確命題的序號是①③④．
故選：A．

點評：本題考查了圓錐曲線的標準方程及其性質、相交兩圓的判定及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．