Question

已知圓C：x²+y²=4，點A（a，0）（a＞0）
（1）若a=4，過點A作圓C的切線，求切線方程；
（2）過點A作直線交圓C于不同兩點M、N，求MN中點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,軌跡方程

專題：計算題,作圖題,直線與圓

分析：（1）若a=4，設切線傾斜角a，則sina=

2

4

=

1

2

；從而求斜率k=±

3

3

；從而求切線方程；
（2）設點P（x，y），則OP⊥AP；從而得

y-0

x-a

•

y

x

=-1；從而求軌跡方程．

解答： 解：（1）若a=4，設切線傾斜角a，則sina=

2

4

=

1

2

；
故切線的斜率為k=±

3

3

；
故切線方程為y=±

3

3

（x-4）；
故切線方程為x±

3

y-4=0；
（2）設點P（x，y），則OP⊥AP；
故

y-0

x-a

•

y

x

=-1；
化簡得，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

；
當0＜a≤2時，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

；
當a＞2時，（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

（0≤x≤

1

a

）．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系應用及軌跡方程的求法，屬于中檔題．