Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-1n x．
（1）若f（x）≥0對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：對任意的x∈N^*，

n+1

n n!

＜e（其中e為自然對數(shù)的底，e≈2.71828）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f（x）≥0可化為a≥

1+lnx

x

對任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=

1+lnx

x

，x∈（0，+∞）；求g′（x）=-

lnx

x2

，從而求最值；
（2）由（1）知，lnx≤x-1對任意的x∈（0，+∞）恒成立，從而可得ln（1+

1

k

）＜

1

k

對任意k∈N^*成立，從而可得到kln（1+k）-klnk＜1，從而化簡求得．

解答： 解：（1）由f（x）≥0得，a≥

1+lnx

x

對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=

1+lnx

x

，x∈（0，+∞）；
∵g′（x）=-

lnx

x2

，∴當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
故g_max（x）=g（1）=1；
∴a≥1；
∴實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）；
（2）證明：由（1）知，lnx≤x-1對任意的x∈（0，+∞）恒成立，
當且僅當x=1時取等號，
∴l(xiāng)n（1+

1

k

）＜

1

k

對任意k∈N^*成立，
即ln（1+k）-lnk＜

1

k

；
即kln（1+k）-klnk＜1，
∴（1+k）ln（1+k）-klnk＜1+ln（1+k）；
故2ln2-1ln1＜1+ln2，3ln3-2ln2＜1+ln3，…，（1+n）ln（1+n）-nlnn＜1+ln（1+n）；
累加得，（1+n）ln（1+n）＜n+ln2+ln3+…+ln（n+1），
即nln（n+1）＜n+ln（n!），
∴l(xiāng)n（n+1）＜1+

1

n

ln（n!），
即ln（n+1）-ln

n	n!

＜1；
∴l(xiāng)n

n+1

n n!

＜1，即

n+1

n n!

＜e．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題的應用，屬于中檔題．