Question

記數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+n+1
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=2a_n+1+5（n≥1），證明：數列{b_n}是等差數列．

Answer 1

考點：等差關系的確定,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據數列{a_n}的前n項和S_n，得出S_n-1，計算a_n的表達式，求出{a_n}的通項公式a_n；
（2）求出{b_n}的通項公式利用等差數列的定義，判斷數列{b_n}是等差數列．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+n+1；
∴當n≥2時，S_n-1=（n-1）²+（n-1）+1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2n；
當n=1時，a₁=S₁=3，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=

3，n=1 2n，n≥2

；
（2）證明：∵n≥2時，a_n=2n，
∴b_n=2a_n+1+5=2（n+1）+5，其中n≥1；
∴b_n+1=2（n+2）+5，
∴b_n+1-b_n=2，為常數；
∴數列{b_n}是等差數列．

點評：本題考查了利用定義判斷是否為等差數列的應用問題，也考查了根據前n項和定義求數列通項公式的應用問題，是基礎題目．