Question

在平面直角坐標系中，曲線經過旋轉或平移所產生的新雙曲線與原雙曲線具有相同的離心率和焦距，稱它們為一組“任性雙曲線”；例如將等軸雙曲線x²-y²=2繞原點逆時針轉動45°，就會得到它的一條“任性雙曲線”y=

1

x

；根據以上材料可推理得出雙曲線y=

3x+1

x-1

的焦距為（　　）

• A、4
• B、4

  2

• C、8
• D、8

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程,推理和證明

分析：雙曲線y=y=3+

4

x-1

的圖象與雙曲線y=

4

x

的圖象全等，它們的焦距相同，又根據題意得：將雙曲線x²-y²=8繞原點逆時針旋轉45°后可得到雙曲線y=

4

x

，故只須求出雙曲線x²-y²=8的焦距即可．

解答： 解：雙曲線y=

3x+1

x-1

即為y=3+

4

x-1

，
而雙曲線y=3+

4

x-1

的圖象可由y=

4

x

進行形狀不變的變換而得，
∴雙曲線y═3+

4

x-1

的圖象與雙曲線y=

4

x

的圖象全等，它們的焦距相同，
根據題意：“將雙曲線x²-y²=2繞原點逆時針旋轉45°后可得到雙曲線y=

1

x

”
類比可得：將雙曲線x²-y²=8繞原點逆時針旋轉45°后可得到雙曲線y=

4

x

，
而雙曲線x²-y²=8的a=b=2

2

，c=

a2+b2

=8，
∴焦距為2c=8．
故選C．

點評：本題主要考查旋轉變換、雙曲線的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力．屬于中檔題．