Question

已知數列{a_n}的首項為a₁=2，前n項s_n，且滿足（a_n-1）n²+n-s_n=0
（1）證明數列{

n+1

n

s_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式
（2）設b_n=

an

n2+n+2

，記數列{b_n}的前n項和為Tⁿ，求證：Tⁿ＜1．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由數列遞推式求得數列首項，結合a_n=S_n-S_n-1求得數列{

n+1

n

s_n}是以4為首項，1為公差的等差數列．由等差數列的通項公式得到S_n，再由a_n=S_n-S_n-1求數列{a_n}的通項公式；
（2）把an=

2

n

-

2

n+1

+1代入b_n=

an

n2+n+2

，整理后利用裂項相消法求Tⁿ，則答案可證．

解答： 解：（1）由（a_n-1）n²+n-s_n=0，
當n=1時，S₁=a₁=2，
當n≥2時，(Sn-Sn-1-1)n2+n-Sn=0，
(n2-1)Sn-n2Sn-1=n2-n，
（n+1）（n-1）Sn-n2Sn-1=n（n-1），
等式兩邊同除以n（n-1），得

n+1

n

s_n-

n

n-1

Sn-1=1為定值．
又

2

1

S1=2S1=2×2=4，
∴數列{

n+1

n

s_n}是以4為首項，1為公差的等差數列．

n+1

n

S_n=4+1×（n-1）=n+3．
Sn=

n(n+3)

n+1

=

n(n+1+2)

n+1

=

n(n+1)+2n

n+1

=

n(n+1)+2(n+1)-2

n+1

=n+2-

2

n+1

．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

2

n

-

2

n+1

+1．
當n=1時，a₁=2滿足上述通項公式．
∴數列{a_n}的通項公式為an=

2

n

-

2

n+1

+1；
（2）an=

2

n

-

2

n+1

+1；
b_n=

an

n2+n+2

=

2 n - 2 n+1 +1

n2+n+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴Tⁿ=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，考查了數列不等式的證法，是中檔題．