Question

【題目】設函數、滿足關系，其中是常數.

（1）設，，求的解析式；

（2）是否存在函數及常數（）使得恒成立？若存在，請你設計出函數及常數；不存在，請說明理由；

（3）已知時，總有成立，設函數（）且，對任意，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，；當時，；（3）.

【解析】

（1）由f（x）的解析式求出f（x+α）的解析式，相乘后得到函數g（x）的解析式；

（2）由逆向思維可知f（x）f（x+α）＝sinxcosx，由此可得函數f（x）及一個α；

（3）由給出的f（x）求出g（x），從而求出sin[g（x）]與g（sinx），借助于可得答案．

（1）∵f（x）＝cosx+sinx，

∴f（x+α）＝cosx﹣sinx；

∴g（x）＝f（x）f（x+α）＝（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）

＝cos2x﹣sin2x＝cos2x；

（2）∵g（x）sin2x＝2sinxcosx，

若f（x）＝sinx，則f（x+α）＝sin（x+α）＝cosx

∴f（x）＝sinx，常數；

也可以設f（x）＝cosx，則f（x+α）＝cos（x+α）＝sinx

∴f（x）＝cosx，常數；

∴當時，；當時，；

（3）由題意g（x）＝kx，sin[g（x）]＝sinkx，g（sinx）＝ksinx

又0＜k＜1，所以，

則，所以sinkx＞ksinx，

即sin[g（x）]＞g（sinx）．