Question

【題目】已知函數y=f（x），若在定義域內存在x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，則稱x0為函數y=f（x）的局部對稱點．
（1）若a、b∈R且a≠0，證明：函數f（x）=ax2+bx﹣a必有局部對稱點；
（2）若函數f（x）=2x+c在定義域[﹣1，2]內有局部對稱點，求實數c的取值范圍；
（3）若函數f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由f（x）=ax2+bx﹣a得f（﹣x）=ax2﹣bx﹣a

代入f（﹣x）+f（x）=0得，（ax2+bx﹣a）+（ax2﹣bx﹣a）=0，

得到關于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），

其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立

所以函數f（x）=ax2+bx﹣a（a≠0）必有局部對稱點

（2）證明：方程2x+2﹣x+2c=0在區間[﹣1，2]上有解，于是﹣2c=2x+2﹣x

設t=2x（﹣1≤x≤2）， ， 其中

所以

（3）證明：f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3，

由于f（﹣x）+f（x）=0，所以4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3）

于是（4x+4﹣x）﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0（*）在R上有解

令2x+2﹣x=t（t≥2），則4x+4﹣x=t2﹣2，

所以方程（*）變為t2﹣2mt+2m2﹣8=0在區間[2，+∞）內有解，需滿足條件：

即 ，

化簡得

【解析】（1）根據局部對稱點的定義，結合已知中二次函數的圖象和性質，可證明得結論；（2）若函數f（x）=2x+c在定義域[﹣1，2]內有局部對稱點，則方程2x+2﹣x+2c=0在區間[﹣1，2]上有解，解得實數c的取值范圍；（3）若函數f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3在R上有局部對稱點，則方程（4x+4﹣x）﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0（*）在R上有解，解得實數m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．