Question

（本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA₁＝，D是A₁B₁中點．

（1）求證：C₁D⊥AB₁ ；
（2）當點F在BB₁上什么位置時，會使得AB₁⊥平面C₁DF？并證明你的結論.

Answer 1

（1）C₁D⊥平面AA₁B₁B．（2）點F為的中點.

試題分析：（1）證明：如圖，

∵ ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴ A₁C₁＝B₁C₁＝1，且∠A₁C₁B₁＝90°．
又 D是A₁B₁的中點，∴ C₁D⊥A₁B₁．-------------3分
∵ AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D平面A₁B₁C₁，
∴ AA₁⊥C₁D，∴ C₁D⊥平面AA₁B₁B．
∴C₁D⊥AB₁-----------------------------------6分
（2）解：作DF⊥AB₁交AB₁于E，DF交BB₁于F，連結C₁F，
又由（1）C₁D⊥AB₁
則AB₁⊥平面C₁DF，點F即為所求．---------------------9分
連∵  即四邊形為正方形.
∴  
∴∥又D是A₁B₁的中點，點F為的中點.------------12分
點評：①本題主要考查了空間的線線垂直的證明，充分考查了學生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識圖能力。②我們要熟練掌握正棱柱、直棱柱的結構特征。正棱柱：底面是正多邊形，側棱垂直底面。直棱柱：側棱垂直底面。