Question

【題目】為了讓觀賞游玩更便捷舒適，常州恐龍園推出了代步工具租用服務.已知有腳踏自行車與電動自行車兩種車型，采用分段計費的方式租用.型車每分鐘收費元（不足分鐘的部分按分鐘計算），型車每分鐘收費元（不足分鐘的部分按分鐘計算），現有甲乙丙丁四人，分別相互獨立地到租車點租車騎行（各租一車一次），設甲乙丙丁不超過分鐘還車的概率分別為，并且四個人每人租車都不會超過分鐘，甲乙丙均租用型車，丁租用型車．

（1）求甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元的概率；

（2）求甲乙丙三人所付的費用之和等于丁所付的費用的概率；

（3）設甲乙丙丁四人所付費用之和為隨機變量，求的概率分布和數學期望．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【解析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元”， 即4人均不超過30分鐘。

（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10 ，其余2人付5，分3種情況。用相互獨立事件同時發生概率公式與互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根據分類可知隨機變量的所有取值為25，30，35，40，45，50,求出概率及期望。

（1）記“甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元”為事件，即4人均不超過30分鐘，

則 .

答：求甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元的概率是

（2）由題意，甲乙丙丁在分鐘以上且不超過分鐘還車的概率分別為，

設“甲乙丙三人所付費用之和等于丁所付費用”為事件，

則

答：甲乙丙三人所付的費用之和等于丁所付的費用的概率是．

（3）①若“4人均不超過30分鐘”此時隨機變量的值為25，即為事件，由（1）所以.

②記“4人中僅有一人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的這一人是甲乙丙中的一個”和“超過30分鐘的這一人是丁”，分別將上述兩種情況記為

事件和.

i.事件對應的的值為30，此時；

ii.事件對應的的值為35，此時.

③記“4人中僅有兩人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的兩個”和“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的一個和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.

i.事件對應的的值為35，此時；

i.事件對應的的值為40，此時

④記“4人中僅有三人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的三人是甲乙丙”和“超過30分鐘的三人是甲乙丙中的兩個和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.

i.事件對應的的值為40，此時；

i.事件對應的的值為45，此時 .

⑤記“4人均超過30分鐘”為事件，則隨機變量的值為50，

此時 ；

綜上：隨機變量的所有取值為25，30，35，40，45，50，且

；；

；

；

；；

所以甲乙丙丁四人所付費用之和的分別為

	25	30	35	40	45	50

所以 .

答：甲乙丙丁四人所付費用之和的數學期望為.