Question

（文）已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線(xiàn) 相切．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

Answer 1

（1）；（2）；（3）

解析試題分析：（1）由圓心在軸，可設(shè)圓心為，又直線(xiàn)與圓相切，∴圓心到直線(xiàn)的距離，列式求，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，則，解不等式可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）首先根據(jù)垂直關(guān)系得，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出的方程為，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心，將圓心代入，可求的值，再檢驗(yàn)直線(xiàn)是否圓相交于兩點(diǎn).
試題解析：(1）設(shè)圓心為（m∈Z）,由于圓與直線(xiàn)4x+3y-29=0相切，且半徑為5，∴即|4m-29|=25,即4m-29=25或4m-29=-25，解得,或，因?yàn)閙為整數(shù)，故m=1，故所求的圓的方程是；
（2) 此時(shí)，圓心C(1, 0)與該直線(xiàn)的距離，
，即：；
（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，∵a≠0，則直線(xiàn)的斜率為，的方程為，即，由于直線(xiàn)垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在，所以1+0+2-4a=0，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，直線(xiàn)ax-y+5=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)P（-2，4）的直線(xiàn)垂直平分弦AB.
考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.