Question

【題目】已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1）， ， 記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點(diǎn)；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）﹣m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）
由，可解得﹣1＜x＜1，
所以函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋ī?，1）
令F（x）=0，則…（*）
方程變?yōu)?/span>，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0
解得x1=0，x2=﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解為x=0
即函數(shù)F（x）的零點(diǎn)為0．
（2）方程可化為m=
=，
故，設(shè)1﹣x=t∈（0，1]
函數(shù)y=t+在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)
當(dāng)t=1時(shí)，此時(shí)x=0，ymin=5，所以am≥1
①若a＞1，由am≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由am≥1可解得m≤0，
故當(dāng)a＞1時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m≥0，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m≤0
【解析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定義域，令F（x）=0，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可解得x的值，注意驗(yàn)證即可；
（2）方程可化為 ， 設(shè)1﹣x=t∈（0，1]，構(gòu)造函數(shù)y=t+ ， 可得單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得嗎的范圍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．