Question

已知圓C：x²+y²=r²（r＞0），直線l：（2m+1）x+（m+1）y-6m-4=0（m∈R）
（1）當r=5時，若坐標原點O到直線l的距離最大，求直線l的方程
（2）當r=2時，設點P（X₀，Y₀）是（1）中直線l上的點，若圓上存在點Q使得∠OPQ=30°，求X₀的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）由已知得直線l過定點A（2，2），由r=5，|OA|=

4+4

=2

2

＜r，得定點A（2，2）在圓內，要使原點到直線l的距離最大，只需l⊥OA，由此能求出直線l的方程．
（2）r=2時，直線l：x+y-4=0與圓C相離，若圓上存在點Q使得∠OPQ=30°，則直線PQ與圓C相交或相切，由此能求出x₀的取值范圍．

解答： 解：（1）∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y-6m-4=0（m∈R），
∴直線l的方程可化為：（2x+y-6）m++x+y-4=0，
由

2x+y-6=0 x+y-4=0

，得x=y=2，
∴直線l過定點A（2，2），
∵r=5，|OA|=

4+4

=2

2

＜r，
∴定點A（2，2）在圓內，
要使原點到直線l的距離最大，只需l⊥OA，
∵k_OA=1，∴k_l=-1，
∴直線l的方程為：y-2=-（x-2），即x+y-4=0．
（2）∵r=2時，直線l：x+y-4=0與圓C相離，
若圓上存在點Q使得∠OPQ=30°，
則直線PQ與圓C相交或相切，
∴|OP|sin30°≤r，即

x02+y02

sin30°≤2，
∴

x02+(4-x0)2

≤4，
解得x₀的取值范圍是0≤x₀≤4．

點評：本題考查直線方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．