Question

【題目】在極坐標系中，曲線，曲線，點，以極點為原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系.

（1）求曲線和的直角坐標方程；

（2）過點的直線交于點，交于點，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）

【解析】試題分析：（1）第（1）問，利用極坐標化直角坐標的公式解答 .(2)第（2）問，

先把直線的參數方程代入曲線C1的直角坐標方程，利用韋達定理求出，再求出，最后代入，求出的最大值.

試題解析：

（1）曲線C1的直角坐標方程為：x2＋y2－2y＝0；

曲線C2的直角坐標方程為：x＝3．

（2）P的直角坐標為(－1，0)，設直線l的傾斜角為α，(0＜α＜)，

則直線l的參數方程為： , (t為參數，0＜α＜)

代入C1的直角坐標方程整理得，

t2－2(sinα＋cosα)t＋1＝0，

t1＋t2＝2(sinα＋cosα)

直線l的參數方程與x＝3聯立解得，t3＝，

由t的幾何意義可知，

|PA|＋|PB|＝2(sinα＋cosα)＝λ|PQ|＝，整理得，

4λ＝2(sinα＋cosα)cosα＝sin2α＋cos2α＋1＝sin(2α＋)＋1，

由0＜α＜， ＜2α＋＜，

所以，當2α＋＝，即α＝時，λ有最大值．