Question

【題目】已知關于的方程有兩個不同的實數根、.

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）求證：.

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）方程有兩個不同的實數根、，等價于有兩個不等根，對函數求導，使得函數的圖象與有兩個不同的交點即可;(2) 證，只需證，需證，構造函數證明大于0.

解析：

（Ⅰ）∵，∴.令，

則 ，

令，解得，令，解得，

則函數在上單調遞增，在上單調遞減，

∴；

又當時，，當時，，

畫出函數的圖象.

要使函數的圖象與有兩個不同的交點，

則，即實數的取值范圍為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，不妨設，則，.

要證，只需證.

∵，且函數在上單調遞減，

∴只需證，又，∴只需證，

即證，即證對恒成立.

令，，則，

∵，∴，∴恒成立，

則函數在上單調遞減，∴.

綜上所述，.