Question

【題目】已知函數是定義在上的偶函數，且，若函數有 6 個零點，則實數的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點等價于當x≥0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，

即可即m=f（x）有3個不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范圍．

函數f（x）是定義在R上的偶函數，函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點，

則當x≥0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，

令F（x）=f（x）﹣m=0，

即m=f（x），

①當0≤x＜2時，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，

當x=時有最大值，即為f（）=，

且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，

故f（x）在[0，2）上的值域為（﹣2，），

②當x≥2時，f（x）=＜0，且當x→+∞，f（x）→0，

∵f′（x）=，

令f′（x）==0，解得x=3，

當2≤x＜3時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

當x≥3時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增，

∴f（x）min=f（3）=﹣，

故f（x）在[2，+∞）上的值域為[﹣，0），

∵﹣＞﹣2，

∴當﹣＜m＜0時，當x≥0時，函數F（x）=f（x）﹣m有三個零點，

故當﹣＜m＜0時，函數F（x）=f（x）﹣m有六個零點，

故選D.