Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）判斷直線l與圓C的位置關系；
（2）設l與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）若定點P（1，1）分弦AB為

AP

PB

=

1

2

，求此時直線l的方程．

Answer 1

（1）圓C：x²+（y-1）²=5的圓心為C（0，1），半徑為

5

．
∴圓心C到直線l：mx-y+1-m=0的距離d=

|-m|

m2+1

≤

|m|

|2m|

=

1

2

＜

5

∴直線l與圓C相交；
（2）由直線方程mx-y+1-m=0，得m（x-1）-y+1=0，可知直線l過定點P．
當M與P不重合時，連結CM、CP，則CM⊥MP，
∴|CM|²+|MP|²=|CP|²
設M（x，y）（x≠1），則x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化簡得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1）；
當M與P重合時，x=1，y=1也滿足上式．
故弦AB中點的軌跡方程是x²+y²-x-2y+1=0．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AP

PB

=

1

2

，得

AP

=

1

2

PB

，
∴1-x1=

1

2

(x2-1)，化簡的x₂=3-2x₁…①
又由

mx-y+1-m=0 x2+(y-1)2=5

，消去y得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴x1+x2=

2m2

1+m2

…②
由①②解得x1=

3+m2

1+m2

，代入（*）式解得m=±1，
∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0．