Question

已知數列{a_n}中，a₁=

1

2

，且2a_n+1-a_n=n，其中n=1，2，3，…．若b_n=a_n+1-a_n-1．
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項a_n．

Answer 1

考點：等比關系的確定,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁=

1

2

，2a_n+1-a_n=n得a₂=

3

4

，由b_n=a_n+1-a_n-1求出b₁，由2a_n+1-a_n=n得a_n=2a_n+1-n，代入b_n=a_n+1-a_n-1化簡得b_n=n-a_n+1-1，代入

bn

bn-1

化簡即可；
（2）由（1）和等比數列的通項公式求出b_n，再由b_n=a_n+1-a_n-1得a_n+1-a_n=-

3

2n+1

+1，利用累加法和等比數列的前n項和公式求出通項a_n．

解答： 證明：（1）由a₁=

1

2

，2a_n+1-a_n=n得，a₂=

3

4

，
又b_n=a_n+1-a_n-1，所以b₁=a₂-a₁-1=-

3

4

，
由2a_n+1-a_n=n得，a_n=2a_n+1-n，則b_n=a_n+1-a_n-1=n-a_n+1-1，
當n≥2時，

bn

bn-1

=

n-an+1-1

n-1-an-1

=

n-an+1-1

n-2an+1+n-2

=

n-an+1-1

2n-2an+1-2

=

1

2

，
所以數列{b_n}是以-

3

4

為首項、

1

2

為公比的等比數列；
解：（2）由（1）可得，b_n=-

3

4

•(

1

2

)n-1=-

3

2n+1

，
所以b_n=a_n+1-a_n-1=-

3

2n+1

，即a_n+1-a_n=-

3

2n+1

+1，
則a₂-a₁=-

3

22

+1，a₃-a₂=-

3

23

+1，…，a_n-a_n-1=-

3

2n

+1，
以上n+1個式子相加得，a_n-a₁=-3×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+n-1=

3

2n

+n-

5

2

，
所以a_n=

3

2n

+n-2．

點評：本題考查等比數列的定義、通項公式、前n項和公式，累加法求數列的通項公式，以及數列的遞推公式的轉化，屬于中檔題．