Question

【題目】已知函數（），且的導數為.

（Ⅰ）若是定義域內的增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若方程有3個不同的實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）只需，即恒成立，求出即可得結果；（Ⅱ）原方程等價于，研究函數的單調性，結合圖象可得結果.

試題解析：（Ⅰ）因為 ，所以.

由，得，即

對于一切實數都成立.

再令，則，由，得.

而當時， ，當時， ，所以當時， 取得極小值也是最小值，即，所以的取值范圍是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

所以方程 ，即 ，

整理，得.

令，則 ，

令，解得或.

列表得：

				1
		0		0
	增	極大值	減	極小值	增

由表可知當時， 取得極大值；

當時， 取得極小值.

又當時， ， ，此時.

因此當時， ；當時， ；當時， ，因此實數的取值范圍是.