Question

經市場調查，某超市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數，且銷售量近似滿足g（t）=80-2t（件），價格近似滿足f（t）=20-

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|t-10|（元）．
（1）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數關系表達式；
（2）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數解析式的求解及常用方法

專題：計算題,應用題,分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）根據y=g（t）•f（t），可得該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數表達式；
（2）分段求最值，可求該種商品的日銷售額y的最大值和最小值．

解答： 解：（1）依題意，可得：
y=g(t)•f(t)=(80-2t)•(20-

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|t-10|)=(40-t)•(40-|t-10|)，
所以y=

(30+t)(40-t)，0≤t≤10 (50-t)(40-t)，10＜t≤20

；
（2）當0≤t≤10時，y=（30+t）（40-t）=-（t-5）²+1225，
y的取值范圍是[1200，1225]，在t=5時，y取得最大值為1225；
當10＜t≤20時，=（50-t）（40-t）=（t-45）²-25，
y的取值范圍是[600，1200），在t=20時，y取得最小值為600．
綜上所述，第五天日銷售額y最大，最大為1225元；
第20天日銷售額y最小，最小為600元．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數最值的研究，考查學生的計算能力，利用二次函數的性質是解決本題的關鍵．