Question

某施工地位于A、B兩條河的交匯處，根據(jù)歷史統(tǒng)計資料預測．今年汛期A河流發(fā)生洪水的概率為0.25，B河流發(fā)生洪水的概率為0.18，（假設兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）．現(xiàn)有一臺大型設備正在該地工作，為了保護設備，施工單位提出以下三種方案：
方案1：不采取措施，此時只有一條河流發(fā)生洪水時，損失為10000元，當兩條河流都發(fā)生洪水時損失為60000元．
方案2：建一保護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵御一個河流發(fā)生的洪水，當兩河流同時發(fā)生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；
方案3：運走設備，此時需花費4000元；
（1）試求方案1中損失費X（隨機變量）的分布列及期望；
（2）試比較哪一種方案好．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）記A={A河流發(fā)生洪水}，B={B河流發(fā)生洪水}，則p（A）=0.25，p（B）=0.18，由此能求出方案1中損失費X（隨機變量）的分布列及期望．
（Ⅱ）方案2的可能花費為：1000+5600×0.45=3520，方案3的花費為4000．從而得到方案2最優(yōu)．

解答： 解：（Ⅰ）記A={A河流發(fā)生洪水}，B={B河流發(fā)生洪水}
則p（A）=0.25，p（B）=0.18，
∴兩條河流都發(fā)生洪水的概率為：
p（A•B）=p（A）•P（B）=0.25×0.18=0.045，
只有一條河流發(fā)生洪水的概率為p(A

.

B

+

.

A

B)=p(A)•p(

.

B

)+p(

.

A

)•p(B)=0.25×0.82+0.75×0.18=0.34
兩條河流都不發(fā)生洪水的概率為：
P（

.

A

•

.

B

）=P（

.

A

）•P（

.

B

）=0.75×0.82=0.615．
∴方案1中，則損失費X（隨機變量）的分布列為

X	10000	60000	0
p	0.34	0.045	0.615

∴損失費X（隨機變量）的期望為：
EX=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100．
（Ⅱ）方案2的可能花費為：1000+5600×0.45=3520；
方案3的花費為4000．
綜上，方案2最優(yōu)．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．