Question

若關于x的不等式（2x-1）²＜ax²的解集中的整數解恰有4個，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：由不等式可知a是大于0的，ax²＞（2x-1）²可變為ax²-（2x-1）²＞0，利用平方差分解因式得（

a

x+2x-1）（

a

x-2x+1）＞0，（

a

x+2x-1）與（

a

x-2x+1）同號得到a的解集，解集中的整數恰有4個，得到a的范圍即可．

解答： 解：由題知，a＞0 則
ax²＞（2x-1）²
ax²-（2x-1）²＞0．
（

a

x+2x-1）（

a

x-2x+1）＞0
即[（

a

+2）x-1][（

a

-2）x+1]＞0
由于

a

+2＞0，而不等式的解答中恰有4個整數解，故必有

a

-2＜0，即必有a＜4，
所以不等式可變為[（

a

+2）x-1][（2-

a

）x-1]＜0
解得

1

a +2

＜x＜

1

2- a

，
又

1

2+ a

＜1，結合解集中恰有4個整數可得

1

2- a

＞4且

1

2- a

＜5，
所以有2-

a

＜

1

4

且2-

a

＞

1

5

，解得

49

16

＜a＜

81

25

故答案為：（

49

16

，

81

25

）．

點評：本題考查學生解一元二次不等式的能力，運用一元二次不等式解決數學問題的能力．