Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E，F分別在BC，AD上，EF∥AB，現將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．

（1）若BE=3，求幾何體BEC﹣AFD的體積；
（2）求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值，并求此時二面角A﹣CD﹣E的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，FD⊥EF，

∴FD⊥平面ABEF，又AF平面ABEF，

∴FD⊥AF，又AF⊥EF，FD∩EF=F，

∴AF⊥平面EFDC，

同理，CE⊥平面ABEF，

連結FC，將幾何體BEC﹣AFD分成三棱錐A﹣CDF和四棱錐C﹣ABEF，

對于三棱錐A﹣CDF，棱錐高為AF=BE=3，FD=5，

∴V三棱錐A﹣CDF= = =5，

對于四棱錐C﹣ABEF，棱錐高為CE=3，

∴V四棱錐C﹣ABEF= = =6，

∴幾何體BEC﹣AFD的體積V=V三棱錐A﹣CDF+V四棱錐C﹣ABEF=5+6=11

（2）解：設BE=x，∴AF=x（0＜x≤6），FD=8﹣x，

∴V三棱錐A﹣CDF= ，

∴當x=4時，V三棱錐A﹣CDF有最大值，且最大值為 ，

在直角梯形CDEF中，EF=2，CE=2，DF=4，

∴CF=2 ，CD=2 ，DF=4，

∴CF2+CD2=DF2，∠DCF=90°，∴DC⊥CF，

又AF⊥平面EFDC，DC平面EFDC，

∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，∴DC⊥AC，

∴∠ACF為二面角A﹣CD﹣E的平面角，

tan = = ，

∴二面角A﹣CD﹣E的正切值為 ．

【解析】（1）推導出FD⊥平面ABEF，從而AF⊥平面EFDC，CE⊥平面ABEF，連結FC，將幾何體BEC﹣AFD分成三棱錐A﹣CDF和四棱錐C﹣ABEF，由此能求出幾何體BEC﹣AFD的體積．（2）設BE=x，則AF=x（0＜x≤6），FD=8﹣x，V三棱錐A﹣CDF= ，當x=4時，V三棱錐A﹣CDF有最大值，∠ACF為二面角A﹣CD﹣E的平面角，由此能求出二面角A﹣CD﹣E的正切值．