Question

【題目】如圖，以坐標原點O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點A，點B，P在單位圓上，且B（﹣ ， ），∠AOB=α．

（1）求 的值；
（2）設∠AOP=θ（ ≤θ≤ π）， = + ，四邊形OAQP的面積為S，f（θ）=（ ﹣1）2+ S﹣1，求f（θ）的最值及此時θ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，tanα= =﹣2，

∴ = = =﹣10

（2）解：由已知點P的坐標為P（cosθ，sinθ），

又 = + ， ，

∴四邊形OAQP為菱形，

∴S=2S△OAP=sinθ，

∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），

∴ =（1+cosθ，sinθ），

∴ =1+cosθ，

∴f（θ）=（1+cosθ﹣1）2+ sinθ﹣1

=cos2θ+ sinθ﹣1

=﹣sin2θ+ sinθ，

∵ ≤sinθ≤1，

∴當sinθ= ，即θ= 時，f（θ）max= ；

當sinθ=1，即θ= 時，f（θ）max= ﹣1

【解析】（1）依題意，可求得tanα=2，將 中的“弦”化“切”即可求得其值；（2）利用向量的數量積的坐標運算可求得f（θ）=﹣sin2θ+ sinθ；θ∈[ ， ] ≤sinθ≤1，利用正弦函數的單調性與最值即可求得f（θ）的最值及此時θ的值．